Metode Iterative

Metode iteratif adalah suatu metode untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan baik persamaan tersebut merupakan persamaan linear maupun fungsi polynomial, trigonometi, dan exponensial dengan cara tidak langsung. Metode iteratif dimulai dengan aproksimasi nilai tebakan awal untuk mendapatkan solusi yang sebenarnya dengan melakukan perhitungan yang diulang-ulang (looping) sampai ketelitian yang diinginkan, sampai didaptkan hasil yang konvergen, yaitu hasil aproksimasi terdekat dari persamaan tersebut.

Metode Iterative terdiri dari beberapa macam, diantaranya:
1. Metode Bisection
Metode Bisection ini didasarkan pada teorema nilai antara fungsi kontinyu, yaitu bahwa suatu selang [x₀,x₁] harus mengandung f(x) = 0, bila f(x₀) dan f(x₁) berlawanan tanda. Proses dilakukan dengan pengulangan membagi selang [x₀,x₁] menjadi dua dan dalam setiap langkah diambil setengah selang yang memenuhi persyaratan tersebut. Proses ini diulang sampai didapatkan ketelitian yang sama dengan interval [x₀,x₁] terakhir. Kelebihan metode ini adalah kepastian untuk tercapainya konvergensi, sehingga didapatkan nilai akar-akar yang diinginkan. Namun kekurangannya adalah untuk mendapatkan nilai akar-akar sebenarnya, mungkin dibutuhkan jumlah pengulangan yang cukup banyak.

2. Metode False Position
Solusi akar-akar dengan menggunakan Metode False Position merupakan modifikasi dari Metode Bisection dengan cara memperhitungkan ‘kesebangunan’ yang dilihat pada kurva berikut:

Dari kesebangunan 2 segitiga  PCB dan  PQR pada gambar tersebut, maka kita akan mendapatkan persamaan :

PB/BC = PR/RQ

(F(b) -0) / (b - c) = f(b) – f(a) / (b - a)

Sehingga :

c = b – f(b)[(b – a)/(f(b) – f(a))]

Kelebihan dari metode ini adalah kepastian untuk tercapainya konvergensi sama seperti metode bisection. Kelemahannya, metode ini sangat sensitive dengan nilai tebakan awal dan untuk mencapai konvergensi mungkin membutuhkan iterasi yang cukup banyak.

3. Metode Newton-Raphson

Metode Newton Raphson adalah metode iterasi lain untuk memecahkan persamaan f(x) = 0,dengan f diasumsikan mempunyai turunan kontinyu f’. Metode ini menggunakan suatu garis lurus sebagai hampiran fungsi pada suatu selang. Garis tersebut adalah garis singgung kurva. Dengan menggunakan nilai awal x₀ dan kita tetapkan x₁ adalah titik potong antara sumbu x dengan garis singgung pada kurva f di titik x₀.

Prosedur metode Newton-Raphson mulai dari sebarang titik x₀ yang cukup dekat dengan akar. Pertama temukan kemiringan dari fungsi f(x) pada x-x₀, yang diberinama f’(x_o). Lalu tentukan x_i dengan persamaan

xi = x₀ – f(x₀) / f’(x₀)

Untuk setiap iterasi ke (i+1), hitung :

x_i+1 = x_i – f(x_i) / f’(x_i)

Kelebihan metode ini adalah hanya dibutuhkan satu buah nilai tebakan. Jika nilai tebakan tersebut berada dekat dengan nilai akar sesungguhnya, maka hanya dibutuhkan jumlah iterasi yang sedikit. Kekuranganya, dibutuh jumlah iterasi yang cukup banyak jika nilai tebakan berada jauh dari nilai akar aslinya.

4. Metode Secant

Dalam setiap iterasi untuk metode Newton-Raphson dilakukan perhitungan turunan fungsi atau f’(x). Metode secant menghampiri turunan pertama fungsi dengan :

f’(x) = (f(x_i) – f(_xi-1)) / (x_i – x_i-1)

dimana x_i dan x_i-1 adalah dua hampir akar untuk iterasi ke-I dan iterasi ke-(i-1). Nilai hampir akar pada iterasi ke-(i-1) diperoleh dari dua nilai hampir akar sebelumnya yaitu x_i-1 dan x_i yang diterapkan pada persamaan tersebut :

x_i+1 = (x_i-1 f(x_i) – x_if(x_i-1)) / f(x_i) – f(x_i-1)

dengan x_i-1 adalah absis titik perpotongan garis lurus yang menghubungkan dua titik (x_i-1,f(x_i-1)) dengan (x_i, f(x_i)).

5. Metode Successive Approximation