Metode Bisection

Metode Bisection merupakan salah satu metode iterative, dimana dalam metode ini digunakan dua nilai tebakan yang memiliki karakteristik dekat dengan nilai akar-akar sebenarnya.

Pada grafik di atas kita misalkan titik a adalah x₀ dan b adalah x₁, dimana jika dimasukkan dalam persamaan f(x), f(x₀) dan f(x₁) akan menghasilkan nilai yang berlawanan tanda. Kemudian kita melakukan ‘Bisect’, yaitu menentukan nilai tengah x₂ dari dua nilai tebakan tersebut, dengan persamaan :

x₂ = (x₀+x₁) /2

jika nilai f(x₂) = 0, maka nilai x₂ tersebut adalah akar dari persamaan tersebut. Jika f(x₂) > 0, maka akar terletak di antara x₀ dan x_2. Pada langkah iterative berikutnya, kita harus mengganti x1 dengan nilai x2.  Jika f(x₂) < 0, pada langkah iterative berikutnya, kita harus mengganti nilai x₀ dengan nilai x₂. Selanjutnya kita akan mencoba untuk menerapkan metode ini untuk mencari akar persamaan dari suatu fungsi polynomial.

Kita akan menggunakan contoh soal pada buku Computer Oriented Numerical Methods, halaman 38. Fungsi polynomial yang akan kita gunakan adalah x² – 25, dengan nilai tebakan awal x₀ = 2.0 dan x₁ = 7.0.

Algoritma Bisection :

1. Baca x₀,x₁,e. x₀ dan x₁ adalah 2 nilai estimasi awal terdekat pada nilai akar yang sebenarnya, e adalah nilai error yang diijinkan. Langkah 2,3 dan 4 merupakan step inisialisasi variable yang digunakan.

2. y₀=f(x₀)

3. y₁=f(x₁)

4. I =0

5. if(sign(y₀) = sign(y₁) kemudian

Mulai tulis “starting value unsuitable”

                        tulis x₀,x₁,y₀,y₁

            berhenti

6. While |(x₁ - x₀)/x₁| > e lakukan

        mulai

7.             x₂=(x₀+x₁)/2

8.             y₂=f(x₂)

9.             i=i+1

10.           if(sign(y₀) = sign(y₂) kemudian x₀=x₂ else x₁=x₂

       Berhenti

11. tulis “sollution converges to a root”

12. tulis “number of iteration =  “,i

13. tulis x₂,y₂

14. berhenti

Berikut adalah penerapannya dalam Program Visual Basic.

Gambar 1. User Form

  

 

Gambar 2. Koding Bisection Method

Gambar 3. Hasil Iterasi

Dengan menentukan nilai estimasi awal xo = 2 dan x1 = 7 dan jumlah iterasi adalah 100, maka untuk fungsi y = f(x) = x² – 25, didapatkan akar-akar yaitu x = 5.